Question

已知正项数列{an}，若对于任意正整数p、q均有ap?aq=2p+q成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=n

已知正项数列{an}，若对于任意正整数p、q均有ap?aq=2p+q成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

解（Ⅰ）由已知，令p=q=n可得an?an＝22n，------（2分）
因为a_n＞0，所以an＝2n．------（5分）
（Ⅱ）bn＝nan＝n?2n，------（6分）
Sn＝1?21+2?22+3?23+…+(n?1)2n?1+n?2n，①
2Sn＝1?22+2?23+3?24+…+(n?1)2n+n?2n+1，②
由①-②得：?Sn＝1?21+22+23+…+2n?n?2n+1，------（8分）
即：?Sn＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1．------（10分）
整理可得：Sn＝(n?1)?2n+1+2．------（12分）