Question

在平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^=4x相交于不同的A,B两点

在平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^=4x相交于不同的A,B两点
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求向量OA*OB的值
(2)如果向量OA*OB=-4,证明直线L必过一定点,求出该定点.

Answer 1

1)抛物线的焦点为（1,0），y=k(x-1)，带入k^2(x-1)^2=4x，整理得x^2-(2+4/k^2)+1=0，根据根与系数的关系，x1*x2=1；x1+x2=2+4/k^2；y1*y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2(x1*x2-x1-x2+1)=-4，所以OA*OB=-3
2)令直线L: y=kx+b，带入抛物线方程(kx+b)^2=4x，整理得x^2-((4-2kb)/k^2)x+b^2/k^2=0;
根据根与系数的关系，x1*x2=b^2/k^2，x1+x2=(4-2kb)/k^2；y1*y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1*x2+kb(x1+x2)+b^2=b^2+(4-2kb)*kb/k^2+b^2=4kb/K^2；所以x1x2+y1y2=(b^2+4kb)/k^2=-4；整理的(2k+b)2=0；即2k+b=0；b=-2k；所以L：y=k(x-2)，这条直线过点(2,0)