Question

1.∫(a,2a)根号(x^2-a^2)/x^4dx 2.∫(1,e)根号(1+lnx)/xdx

Answer 1

1、先计算不定积分
令x=asecu，则√(x²-a²)=atanu，dx=asecutanudu
∫ √(x²-a²)/x⁴dx
=∫ [atanu/(asecu)⁴](asecutanu) du
=(1/a²)∫ tan²u/sec³u du
=(1/a²)∫ sin²ucosu du
=(1/a²)∫ sin²u d(sinu)
=(1/a²)(1/3)sin³u + C
=(1/a²)(1/3)[√(x²-a²)/x]³ + C

代入上下限计算得：原积分=√3/(8a²)

2、∫[1→e] √(1+lnx)/x dx
=∫[1→e] √(1+lnx) d(lnx)
=(2/3)(1+lnx)^(3/2) |[1→e]
=(2/3)(2√2 - 1)
=4√2/3 - 2/3

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