Question

求函数y=tan2x-tanx+1/tan2x+tanx+1的值域

Answer 1

设tanx=t
tan2x=2tanx/(1-tan^2x)=2t/(1-t^2)
y=2t/(1-t^2)-t+(1-t^2)/(2t)+t-1
y=2t/(1-t^2)+(1-t^2)/(2t)-1
利用均值不等式
2t/(1-t^2)+(1-t^2)/(2t)>=2根{[2t/(1-t^2)]*[(1-t^2)/(2t)]}=2
当且仅当4t^2=(1-t^2)^2=1+t^4-2t^2等号成立
t^4-6t^2+1=0
t^2=3-2根2
t接近0
所以ymin=1
t=-无穷
y取得最大
为+无穷
值域为[1,+无穷)