Question

如图，从椭圆X2/a2﹢Y2/b2＝1(a>b>0)上一点M向X轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，

如图，从椭圆X2/a2﹢Y2/b2＝1(a>b>0)上一点M向X轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB//OM(1)求椭圆的离心率e(2)设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，F1是左焦点，求<F1QF2的取值范围 (3)设Q是椭圆上一点，当QF2垂直AB时，延长QF2无椭圆交于另 一点P，若三角形F1PQ的面积为20根号3，求此时椭圆的方程 有人会做吗

Answer 1

图没有传上来，只能根据表述文字分析讨论。
（1）通过椭圆左焦点垂直于x轴的直线与椭圆交点M坐标为(c,y)，c为半焦距，OM斜率=y/c；
椭圆顶点连线斜率=±b/a，因二者平行，所以y/c=±b/a，y=±bc/a；将M坐标代椭圆方程：
c²/a²+(bc/a)²/b²=1，得：e=c/a=√2/2；
（2）当Q点位于长轴端点处时，∠F1QF2=0最小；
当Q点位于短轴端点处时，∠F1QF2最大，∠F1QF2=2arctan(c/b)；
因b²=a²-c²=2c²-c²=c²，所以最大角∠F1QF2=2arctan(c/b)=2arctan1=л/2；
（3）当QF2垂直AB时，PQ斜率=±a/b，方程 y=±a(x-c)/b=±a(x-b)/b；
△F1PQ的面积可看成由△F1PF2和△F1QF2两部分组成，S△F1PQ=c*|y正-y负|，y坐标可由PQ与椭圆交点得到：(b±by/a)²/a²+y²/b²=1，将a=√2c=√2b代入并整理，5y²±2√2by-2b²=0，y=(±√2±2√3)b/5；
∴ S△F1PQ=c*(4√3)b/5=(4√3)b²/5=20√3，得b=4，a²=2b²=32；
椭圆方程：x²/32+y²/16=1；

追答

结果如上不变。(1)e=c/a=√2/2；(2) 0≦∠F1PF2≦л/2；(3) y=(√2±2√3)b/5，b=4，x²/32+y²/16=1；

Answer 2

分析：（1）根据过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），可得M的坐标，利用AB∥OM，即可得到椭圆的离心率；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可得0≤cos∠F1QF2≤1，从而可确定∠F1QF2的范围；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），确定直线F2Q的方程：y=
2（x-c）与椭圆联立
y=
2(x-c)x2+2y2=2c2​，利用韦达定理，求得弦长公式，F1到直线y=
2(x-c)的距离，根据△F1PQ的面积为20
3，即可得到椭圆的方程．解答：解：（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，
b2a)，
∵AB∥OM，所以kAB=kOM，即-
ba=-
b2ac，从而得到b=c，a=
2c，
∴离心率e=
22．
（2）设|PF1|=m，|PF2|=n
∴cos∠F1QF2=
m2+n2-4c22mn=
4a2-4c2-2mm2mn=
2b2mn-1，
又因为mn≤(
m+n2)2=a2，所以0≤cos∠F1QF2≤1，所以∠F1QF2∈[0，
π2]．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∵kAB=-
22，所以kF2Q=
2，所以直线F2Q的方程：y=2（x-c）
直线与椭圆联立y=
2(x-c)x2+2y2=2c2​，消元可得5x2-8cx+2c2=0
∴△=24c2＞0，x1+x2=
8c5，x1x2=
25c2，
由弦长公式可得|PQ|=
1+k2|x1-x2|=
364c225-4×
25c2=
6
25c，
又因为F1到直线y=
2(x-c)的距离d=
2
63c，
因为S=
12×
2
63×
6
25c2=
4
35c2=20
3，所以c2=25，b2=25，a2=50，
所以椭圆的方程为x250+
y225=1．