如图,在三角形ABC中已知AB=AC=5,BC=6,切三角形ABC全等于三角形DEF,将三角形DEF与
(2012•宜宾)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:...
(2012•宜宾)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积. 展开
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积. 展开
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因为在△ABE中,∠PEC=∠B+∠BAE
又∠PEC=∠PEF+∠FEC
所以∠PEF+∠FEC=∠B+∠BAE
因为△ABC≌△DEF
所以∠B=∠DEF
所以∠BAE=∠CEF
因为AB=AC
所以∠B=∠C
所以△ABE∽△ECM
2) 若AB=EC,又△ABE∽△ECM
所以△ABE≌△ECM,
所以AE=EM
所以△AEM是等腰三角形
此时AB=EC=5,
所以BE=BC-EC=6-5=1
若AE=AM,则∠AME=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠AME=∠C
又△ECM中∠AME>∠C
所以这种情况不存在
若MA=ME,则∠EAC=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠EAC=∠C=∠B,
所以△EAC∽△ABC
所以EC/AC=AC/BC
即EC/5=5/6
解得EC=25/6
所以BE=BC-EC=6-25/6=11/6
3)设BE=x,则EC=6-x,
由△ABE∽△ECM,得
AB/EC=BE/CM
即5/(6-x)=x/CM
整理CM=(-1/5)x²+(6/5)x=(-1/5)(x-3)²+9/5
当x=3时,E在BC的中点,CM有最大值为9/5,此时AM最小,为5-9/5=16/5
所以重叠的面积
=直角△AEC-△ECM面积
=(1/2)*EC*AE-(1/2)*EC*CM*sin∠C
=(1/2)×3×4-(1/2)×3×(9/5)×(4/5)
=86/25
望采纳 `(*∩_∩*)′
又∠PEC=∠PEF+∠FEC
所以∠PEF+∠FEC=∠B+∠BAE
因为△ABC≌△DEF
所以∠B=∠DEF
所以∠BAE=∠CEF
因为AB=AC
所以∠B=∠C
所以△ABE∽△ECM
2) 若AB=EC,又△ABE∽△ECM
所以△ABE≌△ECM,
所以AE=EM
所以△AEM是等腰三角形
此时AB=EC=5,
所以BE=BC-EC=6-5=1
若AE=AM,则∠AME=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠AME=∠C
又△ECM中∠AME>∠C
所以这种情况不存在
若MA=ME,则∠EAC=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠EAC=∠C=∠B,
所以△EAC∽△ABC
所以EC/AC=AC/BC
即EC/5=5/6
解得EC=25/6
所以BE=BC-EC=6-25/6=11/6
3)设BE=x,则EC=6-x,
由△ABE∽△ECM,得
AB/EC=BE/CM
即5/(6-x)=x/CM
整理CM=(-1/5)x²+(6/5)x=(-1/5)(x-3)²+9/5
当x=3时,E在BC的中点,CM有最大值为9/5,此时AM最小,为5-9/5=16/5
所以重叠的面积
=直角△AEC-△ECM面积
=(1/2)*EC*AE-(1/2)*EC*CM*sin∠C
=(1/2)×3×4-(1/2)×3×(9/5)×(4/5)
=86/25
望采纳 `(*∩_∩*)′
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(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC-EC=6-5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴CEAC=
ACCB,
∴CE=AC2CB=
256,
∴BE=6-256=116;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴CMBE=
CEAB,
即:CMx=
6-x5,
∴CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,
∴AM=5-CM═15(x-3)2+165,
∴当x=3时,AM最短为165,
又∵当BE=x=3=12BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE=AB2-BE2=4,
此时,EF⊥AC,
∴EM=CE2-CM2=125,
S△AEM=12×
165×
125=
9625.
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC-EC=6-5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴CEAC=
ACCB,
∴CE=AC2CB=
256,
∴BE=6-256=116;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴CMBE=
CEAB,
即:CMx=
6-x5,
∴CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,
∴AM=5-CM═15(x-3)2+165,
∴当x=3时,AM最短为165,
又∵当BE=x=3=12BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE=AB2-BE2=4,
此时,EF⊥AC,
∴EM=CE2-CM2=125,
S△AEM=12×
165×
125=
9625.
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(1)由AB=AC,根据等边对等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质,易证得∠CEM=∠BAE,则可证得:△ABE∽△ECM;
(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案;
(3)首先设BE=x,由△ABE∽△ECM,根据相似三角形的对应边成比例,易得CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,继而求得AM的值,利用二次函数的性质,即可求得线段AM的最小值,继而求得重叠部分的面积.
解 答(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)能.
解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC-EC=6-5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴CEAC=ACCB,
∴CE=AC2CB=256,
∴BE=6-256=116;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴CMBE=CEAB,
即:CMx=6-x5,
∴CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,
∴AM=5-CM═15(x-3)2+165,
∴当x=3时,AM最短为165,
又∵当BE=x=3=12BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE=AB2-BE2=4,
此时,EF⊥AC,
∴EM=CE2-CM2=125,
S△AEM=12×165×125=9625.
(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案;
(3)首先设BE=x,由△ABE∽△ECM,根据相似三角形的对应边成比例,易得CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,继而求得AM的值,利用二次函数的性质,即可求得线段AM的最小值,继而求得重叠部分的面积.
解 答(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)能.
解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC-EC=6-5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴CEAC=ACCB,
∴CE=AC2CB=256,
∴BE=6-256=116;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴CMBE=CEAB,
即:CMx=6-x5,
∴CM=-x25+65x=-15(x-3)2+95,
∴AM=5-CM═15(x-3)2+165,
∴当x=3时,AM最短为165,
又∵当BE=x=3=12BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE=AB2-BE2=4,
此时,EF⊥AC,
∴EM=CE2-CM2=125,
S△AEM=12×165×125=9625.
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作BC边垂线AG和BA边垂线CH
因为AB=AC
因为AG⊥BC
所以AG平分BC
因为BC=6
所以BG=3
因为AB=5
所以AG=4(勾股)
所以S△ABC=12
所以HC=4.8
因为BD=X
所以DC=6-X
因为DE∥AB
所以DC/BC=ED/AB
计算……
所以ED=5-5/6X
又因为HC/HI=BC/BD
计算……
HI=4/5X
所以Y=4/5X(5-5/6X)
因为AB=AC
因为AG⊥BC
所以AG平分BC
因为BC=6
所以BG=3
因为AB=5
所以AG=4(勾股)
所以S△ABC=12
所以HC=4.8
因为BD=X
所以DC=6-X
因为DE∥AB
所以DC/BC=ED/AB
计算……
所以ED=5-5/6X
又因为HC/HI=BC/BD
计算……
HI=4/5X
所以Y=4/5X(5-5/6X)
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解答:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴,
∴CE=,
∴BE=6﹣=;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴,
即:,
∴CM=﹣+x=﹣(x﹣3)2+,
∴AM=﹣5﹣CM═(x﹣3)2+,
∴当x=3时,AM最短为,
又∵当BE=x=3=BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE==4,
此时,EF⊥AC,
∴EM==,
S△AEM=.
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴,
∴CE=,
∴BE=6﹣=;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴,
即:,
∴CM=﹣+x=﹣(x﹣3)2+,
∴AM=﹣5﹣CM═(x﹣3)2+,
∴当x=3时,AM最短为,
又∵当BE=x=3=BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE==4,
此时,EF⊥AC,
∴EM==,
S△AEM=.
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