Question

某地要修一条水渠,其横截面为等腰梯形(如图所示),其腰与水平线夹角为60度,如果他的周长（两腰加渠底宽）

某地要修一条水渠,其横截面为等腰梯形(如图所示),其腰与水平线夹角为60度,如果他的周长（两腰加渠底宽）为定值L，那么水渠渠深h为多少的时候，可使水流量达到最大？

Answer 1

过D作底BC的垂线，交BC于D1，
设CD1=X，由于角DCD1=60度，则CD=2X，h=根号[(2x)^2-x^2]=根号[3x^2]=X*根号3

因为周长是L，所以BC=L-2*2X=L-4X
梯形截面积=[（BC+AD）*H/2=（L-4X+（L-4X+2X））*X*根号3]/2
=[（2L-6X）*X根3]/2
=（LX-3X^2)*根号3
可见面积值为一开口朝下抛物线，
当X=-B/2A=-L/2*（-3）=L/6时，截面积最大（截面只最大则水流速最大），
此时h=x*根号3=（L/6）*根号3=L根号3/6

Answer 2

【分析】
①本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，关键是构建函数模型；
②根据题意，先求腰长与上下底边之和，进而可得面积，要使流量最大，只要求横截面积最大即可，利用配方法可解。
【解答】
解：
设横截面面积为S
有条件知要使流量最大，只要求横截面积最大即可
∵腰长为(2√3/3)h，上下底边之和为L-(2√3/3)h
∴S=(1/2)h(L-4√3/3)，（0＜h＜(√3/4)L）
∴S=-(2√3/3)h²+(1/2)Lh，（0＜h＜(√3/4)L）
∴当h=(√3/8)L时，S取最大值即流量最大。

追问

可是答案是六分之根三L

Answer 3

就是求截面积S最大
腰=h/sin60
上底=L-2h/sin60
下底=L-2h/sin60+2h*tan30
上底+下底=2L-2√3h
S=1/2(2L-2√3h)*h
=Lh-√3h^2
=-√3(h-L/2√3)^2+√3L^2/12
h=√3L/6
截面积S最大√3L^2/12