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如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、
如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.求证DG平分∠EDF!...
如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.
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证明:
因为△BDG与四边形ACDG的周长相等
所以BG=AG+AC
因为AE=CE=FD,BF=AF=DE
所以FG+DE=AE+FD+AG=2FD+AG
因为DE=AG+FG
所以FG+DE=2FG+AG=2FD+AG
所以FG=FD
所以∠FDG=∠FGD
过点G作FD的平行线交DE与点H
易得GH=DH
所以∠GDH=∠HGD
因为GH平行FD
所以∠FDG=∠HGD
所以∠FDG=∠GDH
所以DG平分∠EDF
Q.E.D.
因为△BDG与四边形ACDG的周长相等
所以BG=AG+AC
因为AE=CE=FD,BF=AF=DE
所以FG+DE=AE+FD+AG=2FD+AG
因为DE=AG+FG
所以FG+DE=2FG+AG=2FD+AG
所以FG=FD
所以∠FDG=∠FGD
过点G作FD的平行线交DE与点H
易得GH=DH
所以∠GDH=∠HGD
因为GH平行FD
所以∠FDG=∠HGD
所以∠FDG=∠GDH
所以DG平分∠EDF
Q.E.D.
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:(1)∵D、C、F分别是△ABC三边中点,∴DEAB,DFAC。
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等,即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,
∴BG=AC+AG ∵BG=AB-AG,∴BG=。
(2)证明:BG=,FG=BG-BF=,∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。
又∵DE∥AB,∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。
∴DG平分∠EDF。
(3)在△DFG中,∠FDG=∠FGD,∴△DFG是等腰三角形。
∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形。
∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。
∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。
∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等,即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,
∴BG=AC+AG ∵BG=AB-AG,∴BG=。
(2)证明:BG=,FG=BG-BF=,∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。
又∵DE∥AB,∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。
∴DG平分∠EDF。
(3)在△DFG中,∠FDG=∠FGD,∴△DFG是等腰三角形。
∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形。
∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。
∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。
∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。
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各位需要第三问的来着看,满意的请打赞同:
证明:∵△BDG与△DFG相似,∠DFG>∠B,∠BGD=∠DGF(公共角),
∴∠B=∠FDG,
由(2)得:∠FGD=∠FDG,
∴∠FGD=∠B,
∴DG=BD,
∵BD=CD,
∴DG=BD=CD,
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上,
∴∠BGC=90°,
即BG⊥CG.
证明:∵△BDG与△DFG相似,∠DFG>∠B,∠BGD=∠DGF(公共角),
∴∠B=∠FDG,
由(2)得:∠FGD=∠FDG,
∴∠FGD=∠B,
∴DG=BD,
∵BD=CD,
∴DG=BD=CD,
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上,
∴∠BGC=90°,
即BG⊥CG.
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:∵点D、F分别是BC、AB的中点,
∴DF=
1
2
AC=
1
2
b,BF=
1
2
AB=
1
2
c,又∵FG=BG-BF=
1
2
(b+c)-
1
2
c=
1
2
b,
∴DF=FG,
∴∠FDG=∠FGD,
∵点D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE∥AB,
∴∠EDG=∠FGD,
∴∠FDG=∠EDG,
即DG平分∠EDF;
∴DF=
1
2
AC=
1
2
b,BF=
1
2
AB=
1
2
c,又∵FG=BG-BF=
1
2
(b+c)-
1
2
c=
1
2
b,
∴DF=FG,
∴∠FDG=∠FGD,
∵点D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE∥AB,
∴∠EDG=∠FGD,
∴∠FDG=∠EDG,
即DG平分∠EDF;
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2013-03-01
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试试看被,不一定欧有啊勇气就可以了,非得要回答的争气,
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