Question

AB是圆O的直径，弦BC等于2，角ABC等于60度。

问题一：D是AB延长线上一个点。当BD等于多少时，CD与圆O相切。
问题二：若动点E以2厘米每秒的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1厘米每秒的速度从B点出发沿着BC方向运动，设运动时间为T秒（0＜T＜2）连接EF，当T为何值时，三角形BEF为直角三角形？

Answer 1

这是2009年湖南省衡阳市中考数学25题
解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）
∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）
∵∠ABC＝60º（已知）
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）
∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）
即⊙O的直径为4cm．
（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD＝90º（垂直的定义）
∵∠BAC＝ 30º（已求）
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）
∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º）
∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．
（3）根据题意得：
BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC
∴BE：BA＝BF：BC
即：（4－2t）：4＝t：2
解得：t＝1
如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA
∴BE：BC＝BF：BA
即：（4－2t）：2＝t：4
解得：t＝1.6
∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

Answer 2

解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）
∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）
∵∠ABC＝60º（已知）
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）
∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）
即⊙O的直径为4cm．
（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD＝90º（垂直的定义）
∵∠BAC＝ 30º（已求）
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）
∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º）
∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．
（3）根据题意得：
BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC
∴BE：BA＝BF：BC
即：（4－2t）：4＝t：2
解得：t＝1
如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA
∴BE：BC＝BF：BA
即：（4－2t）：2＝t：4
解得：t＝1.6
∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

Answer 3

解：
第一问 ∵在三角形OBC中OC=BC，且∠OBC=60度
∴三角形OBC是等边三角形
∴半径=BC=2
∵CD与圆O相切
∴OC⊥CD
又∵∠COB=60°
∴OD=2CO=4
∴BD=2

第二问 ∵AB是直径
∴∠C=90°
当EF平行于AC时
△BEF是直角三角形
∴△BEF相似△BAC
∴BE比AB=BF比BC
∴(4-2T)/4=T/2
解得T=1
∴当T=1时，△BEF是直角三角形

追问

您没有简化过程吧？我是个中学生，

追答

没有，这样应该就可以了

Answer 4

ttt