Question

设椭圆x2/a2+y2/b2=1（a大于b大于0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点

O为坐标原点，若直线AP与BP的斜率之积为-1/2，则椭圆的离心率是多少

Answer 1

A(-a,0)，B(a,0)；设P(x,y)
由题意得：y²/(x²-a²)=-1/2
即：2y²=a²-x² ①
又点P在椭圆上，所以：x²/a²+y²/b²=1 ②
①式两边同除a²，得：2y²/a²=1-x²/a²，得：x²/a²=1-2y²/a²

代入②得：1-2y²/a²+y²/b²=1
y²(1/b²-2/a²)=0
因为P是异于A,B的点，所以，y≠0
则：1/b²-2/a²=0
得：a²=2b²
则：c²=a²-b²=b²
所以，离心率：e²=c²/a²=1/2
则离心率为√2/2

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