Question

三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．求二面角C1-BD-C的余弦值

三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．求二面角C1-BD-C的余弦值。不要用向量！要快！15分钟！在线等！过期无悬赏！详细过程带结果

Answer 1

∵AA1⊥平面ABC,
∴三棱柱是直棱柱,
∴<C1CB=90°,
∵BC⊥AC,(已知<BCA=90°),
∵CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面AA1C1C,
∴△DC1C是△ABB1在平面AA1C1C的投影,
设二面角B-C1D-C的平面角为θ,
则S△BB1A*cosθ=S△CC1D,
∵S矩形A1ACC1=AA1*AC=3*2=6,
∵D是AC中点,
∴S△CC1D=S矩形ACC1C/4=3/2,
根据勾股定理,BD=√5,
C1D=√10,
C1B=√13,
根据余弦定理,
cos<C1BD=(BC1^2+BD^2-C1D^2)/(2BC1*BD)=4/√65,
sin<C1BD=√(1-16/65)=7/√65,
S△BC1D=BC1*BD*sin<C1BD/2=7/2,
∴cosθ=S△DCC1/S△BDC1=(3/2)/(7/2)=3/7.
∴二面角C1-BD-C的余弦值为3/7.

Answer 2

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