Question

如图,在直三棱柱ABC--A1B1C1中,AB=1,AC=AA!=根号3,BC=2.求二面角A-A1C-B的余弦值

Answer 1

连结A1C、AC、，交于M。连结A1B、BM，
根据勾股定理，A1C=√（AA1^2+AC^2)=√6,
A1B=√（A1A^2+AB^2)=2=BC,
∴△BCA1和△AA1C都是等腰△，
∵四边形ACC1A1是正方形，
∴M是A1C的中点，（平行四边形线角线互相平分）
∴BM⊥A1C，AM⊥A1C，
∴〈BMA是二面角A-A1C-B的平面角，
BM=√（BC^2-CM^2/)=√（4-6/4）=√10/2，
AM=A1C/2=√6/2，
AB=1，
∵AB^2+AM^2=5/2=BM^2,
∴△BAM是RT△，
∴〈BAM=90°，
cos<AMB=AM/BM=(√6/2）/（√10/2）=√15/5，
∴二面角A-A1C-B的余弦值为√15/5。

也可用投影法求之，
根据勾股逆定理，〈BAC=90°，
∵AA1⊥AB，AB∩AC=A，
∴AB⊥平面ACC1A1，
△A1AC是△BA1C在平面ACC1A1上的投影，
设二面角A-A1C-B的平面角为θ，
S△A1AC=S△A1BC*cosθ，
∴cosθ=（√3*√3/2）/[（1/2）√6*√10/2]
=√15/5。

Answer 2

解：（向量法）∵AB=1,AC=AA1=√3,BC=2,AA1⊥面A1B1C1
∴BC² =AB² +AC² ,BC⊥AC
以A为坐标原点，建立直角坐标系
设A（0,0,0）D为A1C中点，连接AD，BD
∵AC=AA1且角A1AC=90°
∴AD⊥A1C
∵A1B=2=BC
∴BD⊥A1C
∴∠ADB即为A-A1C-B的二面角
则D(0,√3/2，√3/2) B（-2,0,0）C（0,√3,0）A1(0,0,√3)
∴AB=（-2，0,0）
DB=（2，√3/2，√3/2）
AD=（0,√3/2，√3/2）
∴cos∠ADB=AD*AB/（2|AD||AB|）=0
则∠ADB＝90°