Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AA1=2AB,AB=BC,已证AB⊥BC。求二面角B-A1C-A的余弦值

请把过程尽可能详细。需要证明二面角的平面角。

Answer 1

用投影法，取AC中点M，连结BM、A1M，
∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，BC⊥BB1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵AB∈平面ABB1A1，A1C∈平面ABB1A1，
∴BC⊥AB，BC⊥A1B，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰RT△，
∴BM⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，
∴BE⊥平面平面ACC1A1，
∴△A1MC是△A1BC在平面ACC1A1上的投影，
设AB=BC=1，AA1=2，
AC=√2，
A1B=√5，
S△A1MC=S△A1AC/2=（2*√2/2）/2=√2/2，
S△A1BC=A1B*BC/2=√5/2，
设二面角B-A1C-A平面角为θ，
S△A1MC=S△A1BC*cosθ，
∴cosθ=（√2/2）/（√5/2）=√10/5。
二面角B-A1C-A的余弦值为√10/5。

Answer 2

平面A1BC垂直侧面A1ABB1，且BC垂直于BB1，故BC垂直于侧面A1ABB1，AB在侧面A1ABB1上，因此BC垂直AB