Question

设f(x)奇函数，当x≤0时，f(x)=x²+2x,若函数f(x)(x∈[a,b])的值域为[1/b,1/a],则b的最大值为？

设f(x)奇函数，当x≤0时，f(x)=x²+2x,若函数f(x)(x∈[a,b])的值域为[1/b,1/a],则b的最大值为？

Answer 1

楼上的求解过程，前面的还是很对的，可后面的个人觉得有问题
大家一起探讨一下，不好意思。
这一部分是楼上的：----------------------
x>0时，f(x)=-f(-x)=-(x²-2x)
x≤0时，f(x)=x²+2x
根据对称轴：
f(x)当x<-1或者x>1的时候，单调减，
当-1<x<1时，单调增
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要满足区间[a,b]上的值域为[1/b,1/a]，a和b要同号，而且函数在y轴左面的情况不用考虑
如果在y轴右面存在满足条件的a和b，且b是最大的，题目就求解完毕了。

当x≥0时，函数的对称轴是x=1，顶点是(1,1)，开口向下
(1) 如果0≤a<b≤1，就是说a和b都在对称轴的左面，因为函数在区间[0,1]上是增函数
此时的1/a>1，1/b≥1，与函数的顶点是(1,1)矛盾，故此种情况不存在。
(2) 如果0≤a≤1，b>1，此时函数的最大值在对称轴处取得，按题意，应该1/a=1，即a=1
这说明这种情况实际也不存在，这实际上等价于a和b都在对称轴的右面这种情况
即第(3)种情况。
(3) 当1≤a<b时，此时函数是减函数，最大值fmax=f(a)=-a^2+2a
依题意有-a^2+2a=1/a，即a^3-2a^2+1=0，容易看出a=1是方程的一个根
即：(a-1)(a^2-a-1)=0，可得方程的另外2个根为：(1+sqrt(5))/2和(1-sqrt(5))/2(不合题意，舍去)
而函数的最小值fmin=f(b)=-b^2+2b，依题意有-b^2+2b=1/b，同理可得方程的3个根：
b=1或b=(1+sqrt(5))/2或(1-sqrt(5))/2(不合题意，舍去)

如果a和b都取1或(1+sqrt(5))/2，题目的区间就没有什么意义了
所以当a=1，b=(1+sqrt(5))/2时，存在满足题意的区间[a,b]
此时，函数的最小值fmin=f(b)=-b^2+2b=(sqrt(5)-1)/2
而值域上限1/b=2/(1+sqrt(5))=(sqrt(5)-1)/2，说明此时的b值是满足题意的，
而函数的最大值fmax=f(a)=-a^2+2a=1=1/a，说明此时的a值是满足题意的。
故满足题目条件的b的最大值为(1+sqrt(5))/2

Answer 2

x>0时，f(x)=-f(-x)=-(x²-2x)
x≤0时，f(x)=x²+2x
根据对称轴：
f(x)当x<-1或者x>1的时候，单调减，
当-1<x<1时，单调增
（画图观察下函数图象，写出零点，极大值，极小值点，我在下面就不具体叙述了）
a,b显然同号，考虑b最大值，
（一）b>0
因此，f(b)>=0,而x>2时，f(x)<0，所以：b<2,
(a,b)在区间(0,2)中。
在区间(0,2)中，f(x)先增，后减，
分情况讨论：
（1）b>=1,a<=1,则(a,b)中最大值在1处取得，所以a=1,
f(x)在（1，b）单调减，所以f(b)=1/b,即：b^2-2b+1/b=0,(b在(1,2)中）
而事实上，b^2-2b+1/b>b^2-2b+1=(b-1)^2>0
所以f(b)=1/b在区间(1,2)无解。
(2)b>=1,a>=1,由于此时在（a，b）上单调减，同第一种情况，必须f(b)=1/b,无解。
(3)b<1,a<1,单增，所以f(b)=1/a,f(a)=1/b,
相互消元：可以得出，a，b为方程y^3+4y^2+2y-1=0在区间(0,1)上的互不相同的两个根
求导得，g(y)=y^3+4y^2+2y-1在(0,1)上，单调增，因此至多一个根
舍去
（二）b<0
(1)b>-1,a>-1,
跟（一）（3）情形一样，且g(y)=y^3+4y^2+2y-1在（-1,0）上单调减，也舍去
（2）b>=-1,a<=-1，所以可以取得极小值-1，因此1/b=-1
所以：f(a)=1/a,a=-1
舍去
（3）b<-1,a<-1
单调减，所以f(a)=1/a,f(b)=1/b
同样只有a=b=-1无解

所以啊。。。。如果a不能等于b，b不存在了。
如果可以等于，从上面过程，可以看到b=1为最大值了