Question

已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围

已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线 与左支交于两点.请写出具体步骤，包括解不等式的具体步骤。O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

双曲线渐近线为x^2-y^2=0，即y=±x
当k=±1时，直线与双曲线左支只有一个交点，∴k≠±1
将y=kx-1代入双曲线，得
x^2-(kx-1)^2=4
(1-k^2)^2x^2+2kx-5=0
直线与双曲线左支有两个交点，则有
△=4k^2+4*5(1-k^2)>0
且 x1+x2=-2k/(1-k^2)<0 , x1x2=-5/(1-k^2)>0
解三个不等式，可分别得到
-√5/2<k<√5/2; k<0; k>1或k<-1
取交集可得k的取值范围为 -√5/2<k<-1