Question

若y=ax²+bx+c,顶点在x轴上方经过点(-4,-5),与y轴交于点C(0,3),与y轴交于A、B

且方程ax²+bx+c=0的两根的平方和等于40
①求此抛物线关系式
②在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求点P，若不存在，请说明理由
这道题没有图，要过程，谢谢~！

Answer 1

（1）因抛物线与x轴交于A、B两点，则⊿=b^2-4ac>0
而顶点在x轴上方，则(4ac-b^2)/4a>0
由此得a<0
易知抛物线y=ax²+bx+c在y轴上的截距c=3，此时抛物线方程为y=ax²+bx+3
抛物线过(-4,-5)，则有-5=a (-4)²+b(-4)+3（I）
由韦达定理知x1+x2=-b/a，x1x2=c/a=3/a
则x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=b^2/a^2-6/a=40（II）
由（I）（II）解得a=-1/4，b=1（注意到a<0）
于是确定抛物线方程为y=-1/4x²+x+3

（2）假设存在符合条件的P点，令P坐标为(xp,yp)
由S△PAB=S△CAB知1/2*|AB|*|yp|=1/2*|AB|*|yc|
易知|yc|=3，则有|yp|=3，即yp=±3
当yp=3时，则3=-1/4xp²+xp+3，解得xp=4（注意到xp=0时，P与C重合）
当yp=-3时，则-3=-1/4xp²+xp+3，解得xp=8-2√7或xp=8+2√7
综上，满足条件的点P有三个，即(4,3)、(8-2√7,-3)和(8+2√7,-3)

Answer 2

题目错了。。。
Y=-0.25x^2+x+3
存在 p（4，3）
1把 (0,3) (-4,-5)带进去，得c=3 4a-b+8=0
X1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(-b\a)^2-2*(c\a)
得b^2-6a=40a^2
解得 a=-0.25 b=1 c=3
2 把x=3带回 得x=0 或 x=4
（0，3） 是c （4，3）是p