Question

f(x)=kx^3-x^2+1在区间（0，+∝）内有且仅有一个零点，求k的取值范围

f(x)=kx^3-x^2+1在区间（0，+∝）内有且仅有一个零点，求k的取值范围

我的疑惑是：
k=0时结论显然成立
当k不等于0时，则它又三个根，由韦达定理 x1*x2*x3=-1/k
若三个根都是实根，则一正两负，则-1/k<0即k＜0
若有虚根则它的共轭也是根，虚根乘它的共轭也是大于零，所以依然有-1/k<0
所以求出来的结果k的取值应该包含在k＜=0中
可是为什么当k=2/9*(3)^0.5 x=3^0.5时可以是解呢 这不和之前的分析矛盾了吗。可是之前哪里做错了呢
第五行改成
若三个根都是实根，则一正两负，则-1/k＞0即k＜0
若有虚根则它的共轭也是根，虚根乘它的共轭也是大于零，所以依然有-1/k＞0即k＜0

Answer 1

这个函数有1个正根，且过y轴上的（0,1）
∴可以想到：k<0，并且函数的极小值>0
由f'(x)=3kx²-2x=x(3kx-2)=0，得到x=1/3k是极小值点
此时f(1/3k)=k(1/3k)³-(1/3k)²+1=1/27k²-1/9k²+1=-2/27k²+1
∴-2/27k²+1>0
解得k²<2/27，∴-√6/9<k<0

追问

可是为什么用根与系数的关系（韦达定理）得出的结论不对呢

追答

根与系数之间的关系，只是判断出了一部分性质，比如k<0，但是不能完整地揭示出参数k的取值范围。

追问

可是k不等于零时要求三个根的乘积大于零则k＜0，那么算出来的答案应该包含在k＜0里面啊

Answer 2

若三个根都是实根，则一正两负？如何得出，应该一个零点，2个共轭根吧
k=0时结论显然成立，也是不对的，此时2个零点

追问

f(x)=kx^3-x^2+1 k=0时f=-x^2+1 正负1就是它的根啊 满足在区间（0，+∝）内有且仅有一个零点

因为要求x＞0时只有一个根，所以如果是三个实根 则两负一正
＂应该一个零点，2个共轭根＂：不会有零根啊，x=0的时候f=1 不是根

追答

我想是因为k=2/9*(3)^0.5 x=3^0.5时可以是解，但是无法保证只有这一个正解
反例不正确

追问

我又算了一下
k＞0时，由f'(x)=3kx²-2x=x(3kx-2)=0，得到x=2/3k，又因为f ''(2/3k)>0所以它是唯一的极小值点，而x趋于正无穷时，f趋于正无穷，所以它是唯一的最小值，令f(2/3k)=0,即x＞0时最小值为0，求出k=2/9*(3)^0.5 x=3^0.5，保证只有这一个正解

Answer 3

自己想咯