Question

已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R

已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R，求：
(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合
(2)函数f(x)的单调增区间

Answer 1

f(x)=sin²x+cos²x+sin2x+2cos²x-1+1
=1+sin2x+cos2x+1
=√2sin(2x+π/4)+2
（1）f(x)的最大值为2+√2，
2x+π/4=π/2+2kπ
2x=π/4+2kπ
x=π/8+kπ
f(x)取最大值时，x的集合为{x|x=π/8+kπ，k∈Z}
（2）递增区间：
-π/2+2kπ<2x+π/4<π/2+2kπ
-3π/4+2kπ＜2x<π/4+2kπ
-3π/8+kπ<x<π/8+kπ
所以，f(x)的递增区间为（-3π/8+kπ，π/8+kπ）k∈Z

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

函数的化简过程如上图（如有步骤不明白可以来问我）

 

最大值是由sin来决定的。无论sin什么，最大值都是1，最小值都是-1.

所以，函数f（x）最大值=2 + √2 ×1 = 2 + √2 

 

我们都知道，sin90°=1是最大的。所以只要sin后面括号里面那个数值=90°，或者是绕了很多360°后再到90°位置，也能够取得同样最大值

 

当函数取最大值是，sin（2x + π/4）=1 所以，

2x + π/4 = π/2 + 2kπ （90°是π/2，2kπ 是k个2π，也就是k个360°，360°是周期，一周一周都有最大值）k∈Z。属于整数

 

解得x=π/8 + kπ

 

第二小题。

同理，要求增区间，先知道sin这个函数原本的增区间是什么。

sin函数原本的增区间是[-π/2，π/2]

考虑周期，很多歌增区间。那么就是[-π/2+ 2kπ ，π/2+ 2kπ ] k∈Z

所以sin括号里面那个东西的范围就限定下来了。既是：

-π/2+ 2kπ ≤ 2x + π/4 ≤ π/2+ 2kπ 

化简得到： 

 -3π/8+kπ<x<π/8+kπ   ，k∈Z

Answer 3

f(x)=(sin^2x+cos^2x)+2cos^2x+sin2x=1+1+cos2x+sin2x=√2sin(2x+#/4)+2. （#表示π）
(1)最大值=2+√2，2x+#/4=2k#+#/2, 所以x=k#+#/8 (k为整数）
(2)2k#-#/2<2x+#/4<2k#+#/2, 所以k#-3#/8<x<k#+#/8为增区间