已知函数f(x)=lnx-a/x;(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;(2)求f(x)在[1,e]上的最小值。
3个回答
2012-12-27
展开全部
因为f′(x)=x+a/ x^2 ,x>0.
①当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)
②当0<-a≤1时,即a≥-1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数,f(x)min=f(1)
③当1<-a<e时,即-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上是减函数,在(-a,e]上是增函数,f(x)min=f(-a)
④当-a≥e时,即a≤-e时,f(x)在[1,e]上是减函数,f(x)min=f(e)最后取并集.
①当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)
②当0<-a≤1时,即a≥-1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数,f(x)min=f(1)
③当1<-a<e时,即-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上是减函数,在(-a,e]上是增函数,f(x)min=f(-a)
④当-a≥e时,即a≤-e时,f(x)在[1,e]上是减函数,f(x)min=f(e)最后取并集.
追问
当a≥0时 当0<-a≤1 当1<-a<e 当 -a≥e 为什么这么分类讨论呀,不明白
来自:求助得到的回答
展开全部
(1)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0又a>0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
(2)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1<x2, 首先确定f(x)在定义域上的单调性
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0
(a)判定:当a>0时: 判定a>0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
(b)判定:当a<0时: 判定a<0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2>0,
得f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的减函数.
(c)判定:当a=0时 判定a=0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2=0,
得f(x1)=f(x2)
∴此时无法判定f(x)的单调性
但是把a=0代入原式得到:
.f(x)=lnx-a/x=lnx
直接对数函数可以得到
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
从而根据上面得到:f(x)在[1,e]上的最小值
(a)判定:当a>0时:
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-a/1=-a
(b)判定:当a<0时:
f(x)是(0, ∞)上的减函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=lne-a/e=1-a/e
(c)判定:当a=0时
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-0/1=0
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0又a>0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
(2)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1<x2, 首先确定f(x)在定义域上的单调性
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0
(a)判定:当a>0时: 判定a>0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
(b)判定:当a<0时: 判定a<0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2>0,
得f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的减函数.
(c)判定:当a=0时 判定a=0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2=0,
得f(x1)=f(x2)
∴此时无法判定f(x)的单调性
但是把a=0代入原式得到:
.f(x)=lnx-a/x=lnx
直接对数函数可以得到
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
从而根据上面得到:f(x)在[1,e]上的最小值
(a)判定:当a>0时:
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-a/1=-a
(b)判定:当a<0时:
f(x)是(0, ∞)上的减函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=lne-a/e=1-a/e
(c)判定:当a=0时
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-0/1=0
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
a>0时
lnx-a/x在此区间单调增
a<=0时
lnx-a/x在此区间单调增
综上,lnx-a/x在[1,e]单调增
所以最小值=ln1-a/1=-a
还有什么不懂的?
lnx-a/x在此区间单调增
a<=0时
lnx-a/x在此区间单调增
综上,lnx-a/x在[1,e]单调增
所以最小值=ln1-a/1=-a
还有什么不懂的?
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询