Question

已知函数f(x)=lnx-a/x；(1)当a＞0时，判断f（x)在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1,e]上的最小值。

能把第（2）题的思路写一下（写详细些）吗。我有答案可是看不懂答案呀。。。拜托啦

Answer 1

因为f′(x)=x+a/ x^2 ，x＞0．
①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min=f（1）
②当0＜-a≤1时，即a≥-1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min=f（1）
③当1＜-a＜e时，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上是减函数，在（-a，e]上是增函数，f（x）min=f（-a）
④当-a≥e时，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min=f（e）最后取并集．

追问

当a≥0时 当0＜-a≤1 当1＜-a＜e 当 -a≥e 为什么这么分类讨论呀，不明白

Answer 2

(1)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0又a>0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
（2）任取x1,x2∈(0, ∞),且x1<x2, 首先确定f(x)在定义域上的单调性
f(x1)-f(x2)=(lnx1-lnx2) (a/x2-a/x1)=ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1>0 ∴0<x1/x2<1,x1-x2<0
（a）判定：当a>0时： 判定a>0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的增函数.
(b)判定：当a<0时： 判定a<0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2>0,
得f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的减函数.
(c)判定：当a=0时 判定a=0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2＝0,
得f(x1)＝f(x2)
∴此时无法判定f(x)的单调性
但是把a=0代入原式得到：
.f(x)=lnx-a/x＝lnx
直接对数函数可以得到
f(x)是(0, ∞)上的增函数.

从而根据上面得到：f(x)在[1,e]上的最小值
（a）判定：当a>0时：
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-a/1=-a
(b)判定：当a<0时：
f(x)是(0, ∞)上的减函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=lne-a/e=1-a/e
(c)判定：当a=0时
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-0/1=0

Answer 3

a>0时
lnx-a/x在此区间单调增
a<=0时
lnx-a/x在此区间单调增
综上，lnx-a/x在[1,e]单调增
所以最小值=ln1-a/1=-a

还有什么不懂的？