Question

已知在函数f(x)=1/3x²-2x²+ax(a∈R)的所有切线中有且仅有一条切线l与直线y=x垂直

求a的值和切线l的方程

Answer 1

f(x)=1/3x^3-2x^2+ax吧？
f'(x)=x^2-4x+a
与y=x垂直，即切线斜率为-1
f'(x)=-1只有一个根
x^2-4x+a=-1只有一个根
x^2-4x+a+1=0, 判别式=16-4(a+1)=0, 得：a=3
此时x=2,
由f(2)=1/3*8-8+6=2/3
因此切线l为：y=-(x-2)+2/3=-x+8/3