Question

已知函数(f)=2sin²x-2asinx+a²-2a-1,(0≤x≤π/2)的最小值为-2.求实数a的值，并求此时最大值！

详细解答！

Answer 1

解答：
f(x)=2sin²x-2asinx+a²-2a-1
=2(sinx-a/2)²+(a²/2)-2a-1
令sinx=t,则t∈[0,1]
∴ y=2(t-a/2)²+(a²/2)-2a-1
对称轴t=a/2，图像开口向上
(1) a/2≤0，即a≤0
t=0时，有最小值，为a²-2a-1=-2
∴ a²-2a+1=0
∴ a=1，不满足a≤0
(2) 0<a/2<1，即0<a<2
t=a/2时，有最小值，为(a²/2)-2a-1=-2
∴a²-4a+2=0
∴ a=2+√2或a=2-√2
∵ 0<a<2
∴ a=2-√2
此时对称轴t=1-√2/2<0.5
∴ 当t=1时，有最大值a²-4a+1=(a-2)²-3=-1
(3) a/2≥1，即a≥2
t=1时，有最小值，即a²-4a+1=-2
∴ a²-4a-3=0
∴ a=2+√7或a=2-√7
∵ a≥2
∴ a=2+√7
∴ t=0时，有最大值a²-2a-1=(a-1)²-2=(1+√7)²-1=7+2√7

追问

a/2≤0，即a≤0
为什么t=0时，有最小值？

追答

画个二次函数，对称轴在区间【0.1】的左侧，开口向上
∴ t=0时，有最小值。

Answer 2

你平方就可以了，这就是二次函数问题