Question

由直线y=x+1上的一点向圆（x-3）^2+y^2=1引切线，则切线长的最小值是。

好乱啊，为什么直线到圆心的距离和半径不相等。切线是和圆心的连线垂直才对啊，为什么还要算d，并且用勾股定理，好乱啊，求高手解答

Answer 1

设给定的圆的圆心为G，满足条件的直线y＝x＋1上的点为A，切点为B。
显然，圆（x－3）^2＋y^2＝1的圆心坐标是（3，0），半径为1。
点（3，0）到直线y＝x＋1的距离＝｜3－0＋1｜/√（1＋1）＝4/√2＝2√2＞1，
∴给定的直线与圆相离。

∵AB切⊙G于B，∴AB⊥BG，∴由勾股定理，有：AB^2＝AG^2－BG^2＝AG^2－1。
∴当AG有最小值时，AB才能有最小值。
很明显，AG的最小值＝点G（3，0）到直线y＝x＋1的距离＝2√2。
∴AB^2的最小值＝（2√2）^2－1＝7，∴AB的最小值＝√7。

追问

为什么相离又会相切

追答

给定的圆与给定的直线相离，但在定直线上可取点作定圆的切线。

追问

圆形与直线想离，即没有交点，为何还会有切点呢

追答

点B在圆上，而不在直线y＝x＋1上。
原题的意思是：
在直线y＝x＋1上取点A，作圆（x－3）^2＋y^2＝1的切线AB，求AB的最小值。

Answer 2

易知，圆的圆心C(3,0),半径r=1.由直线y=x+1上任一点P(t,t+1)向圆C作切线.切点设为Q,则切线长为|PQ|。易知，三角形CPQ为直角三角形，且∠PQC=90°，故由勾股定理得：|PC|^2=|PQ|^2+|CQ|^2.===>|PQ|^2=|PC|^2-|CQ|^2=(t-3)^2+(t+1)^2-1=2(t-1)^2+7≤7,等号仅当t=1时取得，即|PQ|^2≤7,故|PQ|min=√7.即切线长的最小值为√7.