Question

已知函数f(x)=ax^2-(a+1)x+1,当x属于（-1/2，1）时，不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

f(x)=ax²-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)
令(ax-1)(x-1)>0
a>1时，x>1或x<1/a，当x∈(-1/2，1)时，f(x)>0不一定成立，舍去。
a=1时，(x-1)²>0，x≠1，当x∈(-1/2，1)时，f(x)>0，满足题意。
0<a<1时，x>1/a或x<1，当x∈(-1/2，1)时，f(x)>0，满足题意。
a=0时，x-1<0 x<1，当x∈(-1/2，1)时，f(x)>0，满足题意。
a<0时，x>1或<1/a，当x∈(-1/2，1)时，f(x)>0不成立，舍去。

综上，得0≤a≤1

注意：本题没有说f(x)是二次函数，因此不能直接用二次函数的方法去解。

Answer 2

将ax^2-(a+1)x+1>0整理为a为变量的不等式
ax²-(a+1)x+1>0
ax²-ax-x+1>0
a(x²-x)>x-1 (*)
∵x∈（-1/2，1）
所以（x-1）∈（-3/2，0）
所以（*）可化为ax<1
当x∈（0，1）ax<1，a<1/x，a<1
当x∈（-0.5，0）a>1/x,a>-2
当x=0，a∈R
取交集a∈（-2，1）

Answer 3

解：
令ax²-(a+1)x+1>0
(x-1)(ax-1)>0
a>1时，x>1或x<1/a，不能完全包括区间(-1/2，1)，舍去
a=1时，(x-1)²>0 x≠1，在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，a=1满足题意
0<a<1时，x>1/a或x<1 在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，0<a<1满足题意。
a=0时，x-1<0 x<1 在区间(-1/2，1)上f(x)恒>0，0<a<1满足题意。
a<0时，x>1或x<1/a，不包含区间(-1/2，1)，不满足题意，舍去。
综上，得0≤a≤1