Question

已知函数f(x)=lnx-a^2x^2+ax(a属于R）求（1）当a=1时，证明f(x)只有一个零点。（2）若f(x)在区间(1,+无穷

Answer 1

（1）a=1时

f(x)=lnx-x^2+x

定义域(0,正无穷)

求导f'(x)=1/x-2x+1=(-2x^2+x+1)/x

令g(x)=-2x^2+x+1=(-x+1)(2x+1)

根据g(x)不难看出，f(x)在(1，正无穷）上递减，在(0，1]递增

所以最大值f(1)=0-1+1=0

所以f（x）恰好有一个零点

（2）f(x)=lnx-a^2x^2+ax

定义域（0，正无穷）

求导f'(x)=1/x-2a^2x+a=(-2a^2x^2+ax+1)/x

令g(x)=-2a^2x^2+ax+1

分类讨论

当a不等于0时，g(x)为二次函数，开口恒为下，判别式=9a^2>0

所以g(x)的两个根x1=1/a x2=-1/(2a)

当a>0时，x2<0<x1

根据题意x1=<1,1/a=<1,a>=1

解得a>=1

当a<0时，x1<0<x2

根据题意x2=<1,-1/(2a)=<1,a=<-1/2

解得a=<-1/2

当a=0时，f(x)=lnx,不合题意

综上，a的范围是（负无穷，-1/2]并[1，正无穷）