Question

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π/3，b=5

三角形ABC面积为10(根号3)。1.求a，c的值。2.求sin(A+π/6)的值，

Answer 1

1.s=1/2×5×asin60°=10根3，a=8
用余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos60°=49
c=7
2.由正弦定理：a/sinA=c/sinC
sinA=4根3/7,由余弦定理可得cosA=1/7
sin(A+60°）=5根3/14

Answer 2

S=1/2absinC=1/2a*5*根号3/2=10根号3
故有a=8
c^2=a^2+b^2-2abcosC=64+25-2*8*5*1/2=89-40=49
c=7
a/sinA=c/sinC
sinA=asinC/c=8*(根号3/2）/7=4根号3/7
8^2<7^2+5^2
故角A是锐角，即有cosA>0
cosA=根号(1-48/49)=1/7

sin(A+Pai/6)=sinAcosPai/6+cosAsinPai/6=4根号3/7*根号3/2+1/7*1/2=（12/14+1/14）=13/14

Answer 3

(1)过A作AD垂直BC于在D，C=π/3，AD＝5√3/2,
SABC=1/2BC*AD=1/2*5√3/2,*BC=10√3,a=BC=8;
c²=8²+5²-2*8*5cosπ/3=64+25-40=49,c=7
(2)sin(A+π/6)=sin(π-B)=sinB.
c/sin(π/3)=b/sinB,sinB=b*sinC/c=(5*√3/2)/7=5√3/14
即，sin(A+π/6)=5√3/14

Answer 4

1.三角形ABC面积=1/2*absinC=1/2*5*a*sin(π/3)=10(根号3),得a=8
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=64+25-2*8*5*cos(π/3)=49,得c=7
三角形ABC是锐角三角形
2.由正弦定理得sinA/a=sinC/c,sinA=a/c*sinC=8/7*sin(π/3)=4/7*(根号3),cosA=根号（1-sinA^2)=1/7
则sin(A+π/6)=sinA*cosπ/6+cosA*sinπ/6=4/7*(根号3)*1/2+1/7*(根号3)/2=5*(根号3)/14

Answer 5

解：1），由s△ABC=1/2absinC。得10根3=1/2×5a×根3/2.。所以a=8.。
过A做AD⊥BC于D，则在Rt△CAD中，AC=5，∠C=60°，所以AD=ACsin60°=5根3/2.。 CD=ACcos60°=5/2.。所以在Rt△ABD中，AD=5根3/2，BC=8-5/2=11/2.由勾股定理得c=14.。
2，由正弦定理a/sinA=c/sinC得sinA=asinC/c=4根3/14=2根3/7.。则cosA=根（1-sin²A）=根37/7.。由sin（A+π/3）=sinAcosπ/3+cosAsinπ/3=（2根3+根111）/14.。

Answer 6

1）s=1/2*ab*cosc
10跟3=1/2*a*5*1/2
得a=4跟3
cosc=(c^2-a^2-b^2)/2ac
1/2=(c^2-48-25）/2*4跟3*c
得c=7跟3
2）a/sinA=c/sinC得sinA=2/7跟3
cosA^2=1-sinA^2=37/49 ,cosA=跟37/7
sin(A+π/6)=sinAcosπ/6+cosAsinπ/6=2/7 跟3*跟3/2+跟37/7*1/2=3/7+跟37/14