Question

已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明

Answer 1

证明：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F。∴AE∥DC
∵AB=DC , AC=BD BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴AE=DF
∴四边形AEFD是矩形
∴AD∥BC
∵AD≠BC
∴四边形ABCD是梯形
∵AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形。

Answer 2

证全等，BC=BC,AB=DC,AC=BD可证三△ABC与△DCB全等（SSS），可得∠ABC=∠DCB，将DC平移至AE(E为与BC交点)，所以AE=DC，可得AE=AB，∠ABC=∠AEB，所以∠AEB=∠DCE，所以AE平行DC，AE=DC，所以四边形AECD为平行四边形，所以AD∥BC，因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形，因为AB=DC，所以所以四边形ABCD是等腰梯形。