Question

求椭圆x²/9+y²/4=1上的点与直线2x-y+10=0的最大距离值

Answer 1

平行于直线与椭圆相切的直线方程设为2x-y+2b=0，即y=2(x+b)
带入椭圆方程，得10x²+18bx+9(b²-1)=0,由Δ=(18b)²-360(b²-1)=0解得
b=10，画图可知，直线在椭圆上方，所以椭圆在切线2x-y-2√10=0的切点处取得到直线2x-y+10=0最大距离d，d也就是直线2x-y+10=0与切线2x-y-=0之间的距离，即d=|10+2√10|/√(2²+(-1)²)=2√5+2√2

参考；
令x=3cosa
则y/4=1-cos²a=sin²a
y=2sina

距离=|6cosa-2sina+10|/√(2²+1²)
=2|sina-3cosa-5|/√5
=2|√10sin(a+b)-5|/√5
tanb=3/1=3
则分子最大值=√10+5
所以最大距离=2√2+2根号5

Answer 2

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本题可用三角参数的方法解答。

解：∵椭圆方程为x²/9+y²/4=1
∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（3cosα，2sinα）
∴P到直线2x-y+10=0的距离
d=|2×3cosα-2sinα+10|/√(2²+1²)
=|6cosα-2sinα+10|/√5
=|-2√10sin(a+θ)+10|/√5
≤(2√10+10)/√5
=2√2+2√5
∴d的最大值为2√2+2√5

望采纳，若不懂，请追问。