Question

如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ，设PQ与AC相交于点D.

（1）当∠DQC=30°时，求AP的长
（2）作PE⊥AC与E，求证：DE=AE+CD

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Answer 1

1）角DQC=30°，三角形abc是等边三角形，故角C=60，故角DCQ=30，故dc=cq,因ap=cq,故ap=dc,因角dcq=角adp=30,角a=60,故ap垂直pd,apd为直角三角形，ap:ad=1：2，故ad:dc=2:1.三角形abc是变长为6的等边三角形，设dc为X，dc+ad=ac=6,故ap为2（具体过程自己按照你们老师要求扩充一下）

2）延长ac,过Q点做AC垂直线交与G点，ap=aq,角aep=角cgq=90,角A=角c=角qcg,故可证明三角形aep与三角形cgq全等，所以ep=gq,角ped=角qgd=90,角pde=角qdg,故可证明三角形ped与三角形qgd全等，所以ed=gd,又因为ae=cg,dg=cd+cg,所以dg=ae+cd,所以de=ae+cd(这个题目主要是要延长AC然后做辅助线，想到就不难了）

Answer 2

（1）解：因为 三角形ABC是等边三角形，
所以 角A=角ACB=60度，
因为 角ACB=角DQC+角QDC，角DQC=30度，
所以 角QDC=60度--30度=30度，
所以 角QDC=角DQC，CQ=CD，
因为 AP=CQ，
所以 AP=CD，
因为 角ADP=角QDC=30度，角A=60度，
所以 角APD=90度，
所以 AD=2AP，
因为 AD+CD=AC=6，即：2AP+AP=6，
所以 AP=2。
（2）证明：过点P作PG//BC交AC于G。
则 三角形APG相似于三角形ABC，
因为 三角形ABC是等边三角形，
所以 三角形APG也是等边三角形，AP=GP，
因为 PE垂直于AC于E，
所以 AE=GE，
因为 AP=GP，AP=CQ，
所以 GP=CQ，
因为 PG//BC，
所以 角GPD=角CQD，角PGD=角QCD，
所以 三角形GPD全等于三角形CQD，
所以 DG=CD，
因为 AE=GE，DG=CD，
所以 DG+GE=AE+CD，
即： DE=AE+CD。

Answer 3

图呢？没图怎么做啊