Question

如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙

如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化？为什么？（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

Answer 1

(1)
PO是直角三角形AOB斜边AB上的中线，那么PO等于AB的一半，即PO=2a/2=a;
所以木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不变化。
(2)
SRT△AOB=AO*BO/2
AO²+BO²>=2AO*BO
AO*BO<=(AO²+BO²)/2
当AO=BO时，此时AO*BO有最大值(AO²+BO²)/2,
即AO²+BO²=AB²,
2BO²=AB²
AO=BO=AB/√2=2a/√2=a√2。
当滑动到AO=BO=a√2的位置时，SRT△AOB有最大值=AO*BO/2=BO²/2=AB²/4=a².