Question

如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．

如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化？为什么？（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

Answer 1

1、因为：木棍，底面，墙壁三者构成直角三角形，木棍总是直角三角形的斜边，且长度不变，
所以：斜边中点P到直角顶点O的距离不变,始终是a
2、设：直角三角形的面积为y，斜边上的高为x，则面积与斜边上的高的关系式为：y=ax
而对于直角三角形AOB来说，只有当OA=OB时斜边上的高最大，即x=a
所以：当木棍滑动到OA=OB时，三角形AOB的面积最大，最大值是a²

Answer 2

(1)点P到点O的距离恒等于a。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)当滑到OA=OB时三角形AOB面积达到最大。
AO²+BO²=4a²
(AO+BO)²+2AO*B0=4a²
2AO*BO=4a²-(AO+BO)²
≤4a²-2√AO*BO
当AO=BO时2AO*BO有最大值
此时AO=BO=√2a
最大面积为SΔAOB=(√2a)²/2=a²

Answer 3

（1）不变，根据直角三角形的性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）所以OP恒等于1/2AB=a
(2)不妨设AO=X,BO=Y（X>0，Y>0）因为三角形AOB是直角三角形，所以面积为1/2AO*BO
即S=1/2X*Y，因为X^2+Y^2=(2a)^2,因为X^2>0,Y^2>0，根据均值不等式有X^2+Y^2>=2XY(当且仅当X^2=Y^2时,即X=Y时，等号成立)即4a^2>=2XY所以S<=a^2当X=Y即AO=（根号2）a时

Answer 4

(1)根据直角三角形的性质可知：OP=PA=PB,所以它的距离一直是a;
(2)当滑到OA=OB时三角形AOB面积达到最大。

Answer 5

这个好像是这样的三角形AOB是个直角三角形,当木棍移动时,面积发生变化.在移动过程中形成的直角三角形斜边是相等的.那么它们的面积大小取决于斜边上的高.也就是O点到AB的距离最大的时候.当OP垂直于AB的时候距离最大.即是当OA=OB的时候.面积为a的平方.