Question

设β1，β2是非其次线性方程组AX=b的两个不同解，a1,a2,a3是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系

求AX=b通解
A.1/2(β1+β2)+k1(a1-2a2+a3)+k2(-2a1+a2+a3)+k3(a1+a2-2a3)
B.1/2(β1+β2)+k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)

Answer 1

答案是B 因为他的后面部分是非齐次的基础解， a1+a2,a2+a3，a3+a1线性无关
证明a1+a2 a2+a3 a1+a3是线性无关的只要证明a1,a2,a3能够被他表示, 而他能被a1,a2,a3表示是显然的，他们相互表示只会a1,a2,a3和他等价，肯定秩是3咯。1 1 0 a1 =a1+a2
0 1 1 * a2 a2+a3所以只要前面的数字矩阵可逆，我们把它写在右边即可.
1 0 1 a3 a1+a3
可知左边矩阵的行列式为2，所以可逆，所以a1,a2,a3可以被其表示。
对于一般的题目给我k1*a1+k2*a2+k3*a3, K4*a1+k5*a2+k6*a3 ,k7*a1+k8*a2+k9*a3考虑
k1,k2....k9行列式不为0就行了

Answer 2

(a1-2a2+a3, -2a1+a2+a3, a1+a2-2a3) = (a1,a2,a3)K
K =
1 -2 1
-2 1 1
1 1 -2
因为 |K| = 0 (1,2行加到第3行)
所以 r(K)<3
所以 r(a1-2a2+a3, -2a1+a2+a3, a1+a2-2a3) = r(K) <3
所以 a1-2a2+a3, -2a1+a2+a3, a1+a2-2a3 线性相关
故 A 不对.
同理考虑B.

追问

化到最后k变成
1 0 0
0 1 0
0 0 1 怎么回事?

追答

你是说选项B中的?
这说明K可逆, r(K)=3

追问

是A中的
1 -2 1
-2 1 1
1 1 -2

追答

不会. 1,2行加到第3行, 第3行化为0行

追问

我有一步算错了，谢谢老师