Question

设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B)

Answer 1

因为 r(AB)<=min{r(A)，r(B)}，且A是可逆矩阵,，所以 r(B) = r(A^-1AB) <= r(AB)，故r(AB) = r(B)。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

扩展资料：

矩阵的秩相关性质：

1、矩阵转置后秩不变；

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

3、r(kA)=r(A)，k不等于0；

4、r(A)=0 <=> A=0；

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)；

6、r(AB)<=min(r(A)，r(B))；

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

Answer 2

利用知识点 r(AB)<=min{r(A),r(B)}
证明: 首先有 r(AB)<=r(B)
又因为A可逆, 所以 r(B) = r(A^-1AB) <= r(AB)
所以 r(AB) = r(B)