Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点， （1）求证：AC⊥BC1； （2）求

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求三棱锥C1-CDB1的体积．

这个EF的具体解法，不要直接写出等于多少，谢谢！！

Answer 1

：（1）∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1 ．
又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1 ．
而BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1 ．
（2）设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连接OD，
∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，
又∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
）∵∠AA1D为AA1与底面ABC所成的角
∴∠AA1D=60°
设侧棱长为a，由于AC=23
则A1D2=a2+AD2-2a•ADcos60°=a2+3-
3a
同理则C1D2=a2+3+
3a
又由∠A1DC1=90°，
则A1D2+C1D2=A1C12，即2a2+6=(2
3)2
∴a=
3
过A1作A1O⊥AC，垂足为O，
∵面A1ACC1⊥底面ABC，
∴A1O⊥面ABC
易知A1O=A1A•sin60°=3•
32=32
∴VABC-A1B1C1=S△aBC•A1O=12•22•sin120°•
32=3
32