Question

二重积分问题，D由曲线x^2+y^2=2x+2y-1围成,详见图。 急！诚心求教~

Answer 1

x² + y² = 2x + 2y - 1

→ (x - 1)² + (y - 1)² = 1

∫∫_(D) xy dxdy

= ∫(0→2)∫(1 - √(2x - x²)→1 + √(2x - x²)) xy dydx

= ∫(0→2) 2x√(2x - x²) dx

= π

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

x² + y² = 2x + 2y - 1
→ (x - 1)² + (y - 1)² = 1
∫∫_(D) xy dxdy
= ∫(0→2)∫(1 - √(2x - x²)→1 + √(2x - x²)) xy dydx
= ∫(0→2) 2x√(2x - x²) dx
= π