Question

如图,等腰直角△ABC,内接于圆OD为圆O上一点连接AD、BD、CD(1)如图,点D在半圆BC上时，求证BD+CD=根号2AD

第一问要过程、（2）点D在劣弧AB上时，直接写出BD CD AD件的数量关系

Answer 1

1、∵BC是直径
∴∠BDC=∠BAC=90°
即∠BDC+∠BAC=180°
∴∠ACD+∠ABD=180°
∵AB=AC
∴将△ACD绕A旋转到AC和AB重合,得△ABE≌△ACD
∴AD=AE
∠CAD=∠BAE
CD=BE
∴∠EAD=∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴2AD²=DE²
DE=√2AD
∵DE=BD+BF=BD+CD
∴BD+CD=√2AD
2、CD-BD=√2AD
做AD⊥AE，AE交CD于E
∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=90°
∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°
∴∠DAB=∠EAC
∵∠ADE=∠ADC=∠ABC=45°(同弧）
∴△ADE是等腰直角三角形
∴AD=AE
∵AB=AC
∴△ADB≌△AEC
∴CE=BD
∵在等腰Rt△ADE中
DE=√2AD
∴DE=CD-CE=CD-BD=√2AD