Question

设斜率为根号2/2的直线l与椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)交于不同的两点，

且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）
求详解 谢谢

Answer 1

因为斜率为根号二/2的直线与椭圆的交点射影为两焦点，所以交点横坐标为c且(c,根号二/2c)在椭圆上。所以有c2/a2+c2/2b2=1 由b2=a2-c2得5a2c2=2a4+2c4 设e2=t 2t2-5t+2=0 (2t-1)(t-2)=0 因为e<1所以t<1 所以2t=1 e2=1/2 e=根号二/2

Answer 2

由题意知点（c，c）在椭圆上，将点（c，c）代入椭圆表达式，联合方程 a^2=b^2+c^2
经变形得 e=（根号5-1）/2