Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径

（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD

Answer 1

因为DO⊥IC。且AC⊥BC。所以DO平行BC。所以∠CBD=∠BDO。因为∠BDO=∠OBD。所以BD平分。
2。当∠ODB=30.则∠ABC=60°。BC=直径的一半，DO为半径。所以相等

Answer 2

（1）证明：
∵OD⊥AC∴OD平分弧ADC，
∴弧AD=弧DC，∴圆周角∠ABD=圆周角∠DBC（同弧或者等弧所对应的圆周角相等 ）
∴BD平分∠ABC
（2）证明：
∵OB=OD(同圆的半径相等）∴△ODB是等腰三角形∴∠OBD=∠ODB=30°
由(1)可知∠ABD=∠DBC∴∠ABC=2∠OBD=60°
又∵AB是直径∴∠ACB=90°，
则）∴△ACB是直角三角形∴∠BAC=30°
∴BC=1/2AB=OB=OD