Question

已知函数f(x)=2x+2/x+alnx,a∈R

(1)若函数f(x)在[1,正无穷）上2单调递增，求实数a的取值范围
(2)记函数g(x）=x²[f′（x）+2x-2],若g(x)的最小值是-6，求函数f(x）的最小值

Answer 1

f(x)的定义域为x>0
f'(x)=2-2/x²+a/x=(2x²+ax-2)/x²
由题意得：f'(x)≧0对x∈[1,正无穷）恒成立
即2x²+ax-2≧0对x∈[1,正无穷）恒成立
分离变量：ax≧-2x²+2 x>0可同除x
a≧-2x+2/x
令g(x)=-2x+2/x x∈[1,正无穷）
易得g(x)在[1,正无穷）上单调递减
所以，g(x)max=g(1)=-2+2=0
所以：a≧0
即实数a的取值范围是：a≧0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！

Answer 2

f'(x)=2-2/x^2+a/x=1/x^2*(2x^2+ax-2)
由f'(x)=0, 得：2x^2+ax-2=0
delta=a^2+16>0, 因此有两个零点
两根积=-2/2=-1, 即一正一负
因为函数的定义域为x>0,所以只有一个正根为极值点，且为极小值点
此根为x1=[-a+√(a^2+16)]/4
f(x)在[1,正无穷）上单调递增, 则极值点x1<=1
得：√(a^2+16)<=4+a
16<=16+8a
得：a>=0

Answer 3

f'(x)=2-2/x²+a/x=(2x²+ax-2)/x²
因为f(x)在[1,+∞)上增，从而f'(x)≥0对于x∈[1,+∞)恒成立，
即2x²+ax-2≥0，x∈[1,+∞)
a≥(2-2x²)/x，x∈[1,+∞)
令 g(x)=(2-2x²)/x=2/x -2x，x∈[1,+∞)
则g'(x)=-2/x²-2<0，从而 g(x)在[1,+∞)上是减函数，最大值为g(1)=0
所以 a≥[g(x)]max=0
即a≥0

Answer 4

求导得f'(x)=(2x^2+ax-2)/x^2.要在(1,正无穷)上，f'(x)>0,x^2>0.即要2x^2+ax-2>0,x=1代入得a>0.对称轴-a/4<1.得a>-4.所以得a>0.