Question

把自然数1到200按下图方式排列,用长方形框可以围住6个数.

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
......
190 191 192 193 194 195 196
197 198 199 200
请问长方形框中的6个数的和可能是429吗,若可能,请求出长方形框中最大数是多少?若不能,请说出理由?

Answer 1

解：设第一个位数为x，若框内有两行三列,有
x+x+1+x+2 + x+7+x+8+x+9=429
6x+27=429
x=67
67÷7=9……4
∴第一个数在第四列，∴和能是429，长方形框中最大数是67+9=76

若框内有三行两列,有
x+x+1 + x+7+x+8 + x+14+x+15=429
6x+45=429
x=64
64÷7=9……1
∴第一个数在第一列，∴和可能是429，长方形框中最大数是64+15=79
所以，长方形框中的6个数的和可能是429,长方形框中最大数是79.

追问

为什么要用
64÷7=9……1

追答

每行七个数，循环数为7，七个一循环，所以，除以7，
∴64÷7等于9余1
∴64在第10行，与第一个数的位置相同

Answer 2

如果围的6个数是：1、2、3、4、5、6，1+2+3+4+5+6=21，
如果围的6个数是：1、2、3、8、9、10，1+2+3+8+9+10=33，
如果围的6个数是：10、11、17、18、24、25，10+11+17+18+24+25=105
如果围的6个数是：1、8、15、22、29、36，1+8+15+22+29+36=111（四种围法）
从上面的得数可以看出，这6个数的和是奇数，而且它们的和都是3的倍数。
【这6个数的和，其实就是中间两个数的和的3倍，而中间两个数差1，或差5，或差7.】
由429可以看出，429是奇数，同时也是3的倍数，所以符合。
算出中间两个数的和：429除以3=143
从上面看出差7的数就有最大数。那么接下来就以差7来计算。
先算小的数，也就是第三个的数：（143-7）/2=68
第六个数也就是最大的数为（多了三个7）：68+7*3=89

长方形框中最大数是89.
【这六个数分别为：54、61、68、75、82、89】