已知函数y=sinx^2+sinx+cosx+2 x ∈R 求函数y的值域

lee0127
2013-01-03 · TA获得超过687个赞
知道小有建树答主
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是sinx^2还是(sinx)^2,
你这样的函数,只能求导去求值域了。
追问
是(sinx)^2
追答
这道题,一定是出错了。我可以确定!考学生的计算能力不会这样考的,不符合考纲精神。
一般这种题目是化成根号(A^2+B^2)sin(x+θ)+K或者是化成关于正弦,或者是余弦的二次函数形式,用换元法解。
本题解法如下(很复杂,只能用导数解):
y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=(1/2)*sin(2x+π/2)+ √2*sin(x+π/4)+5/2;
=(1/2)*sin(2θ)+ √2*sin(θ)+5/2;令θ=x+π/4;
对上式两端求导并令导数等于0得:y’=cos(2θ)+ √2*cosθ=0;
整理成二次方程:2cos²θ+ √2*cosθ-1=0;
解方程得:cosθ=(√10-√2)/4;(小于-1的根不合理舍去);
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2;
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4;
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2;
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2;
所以,函数y=sin²x+sinx+cosx+2的值域是【3-[√(2√5-2)]/8-√5/2,[√(2√5-2)]/8+√5/2+2】(闭区间)。
Sievers分析仪
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