Question

已知函数y=sinx^2+sinx+cosx+2 x ∈R 求函数y的值域

Answer 1

是sinx^2还是（sinx）^2,
你这样的函数，只能求导去求值域了。

追问

是（sinx）^2

追答

这道题，一定是出错了。我可以确定！考学生的计算能力不会这样考的，不符合考纲精神。
一般这种题目是化成根号(A^2+B^2)sin(x+θ）+K或者是化成关于正弦，或者是余弦的二次函数形式，用换元法解。
本题解法如下（很复杂，只能用导数解）：
y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=(1/2)*sin(2x+π/2)+ √2*sin(x+π/4)+5/2；
=(1/2)*sin(2θ)+ √2*sin(θ)+5/2；令θ=x+π/4；
对上式两端求导并令导数等于0得：y’=cos(2θ)+ √2*cosθ=0；
整理成二次方程：2cos²θ+ √2*cosθ-1=0；
解方程得：cosθ=(√10-√2)/4；（小于-1的根不合理舍去）；
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2；
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4；
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2；
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2；
所以，函数y=sin²x+sinx+cosx+2的值域是【3-[√(2√5-2)]/8-√5/2，[√(2√5-2)]/8+√5/2+2】（闭区间）。