Question

已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点

已知二次函数L1：y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）二次函数L2：y=kx2-4kx+3k（k≠0），顶点为P．
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

1，由y=x2-4x+3
令y=0 x2-4x+3=0
（x-1）（x-3）=0
x=1 x=3
A、B两点的坐标分别为（1，0）（3，0）
2，二次函数L2：y=kx2-4kx+3k（k≠0），
1），对称轴为x=2，顶点的横坐标为2，
图像都经过A（1，0），B（3，0）两点；
2），由y=kx2-4kx+3k（k≠0）得，
y=k（x2-4x+3）=k（x-2）²-k
所以 y=kx2-4kx+3k 顶点P坐标为（2，-k）
若△ABP为等边三角形，必然有-k=√3
所以 k=-√3
3），线段EF的长度不会发生变化．
因为直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
所以 kx²-4kx+3k=8k，且k≠0，
所以 x²-4x+3=8，
即 x1=-1，x2=5， 所以EF=x2-x1=6，
所以 线段EF的长度不会发生变化．