Question

（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

Answer 1

http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/62708/ 【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。
又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得： ，解得：。
∴直线BC的解析式为y=－2x+2．
∴点E的坐标为（0，2）。
∴。
∴AE=CE。
（3）相似。理由如下：
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。
∴直线AD的解析式为y=x+4。
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。
∴点F的坐标为（ ）。
则。
又∵AB=5，，
∴。∴。
又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出；由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。

Answer 2

（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；
（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；
（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出
BFAB
是否等于
ABBC
即可作出判断．
解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，
由函数经过点A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得16a-4b+c=0a+b+c=04a-2b+c=6​，
解得：a=-1b=-3c=4​，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-x2-3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：k+b=0-2k+b=6​，
解得：k=-2b=2​，
即直线BC的解析式为y=-2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE=AO2+OE2=25，CE=(-2-0)2+(6-2)2=25，
故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则-4k+b=0b=4​，解得：k=1b=4​，
即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：y=x+4y=-2x+2​，
解得：x=-
23y=
103​，
即点F的坐标为（-23，103），
则BF=(-
23-1)2+(
103-0)2=5
53，
又∵AB=5，BC=(-2-1)2+(6-0)2=35，
∴BFAB=53，ABBC=53，
∴BFAB=ABBC，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 3

解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，
由函数经过点A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6），
可得16a-4b+c=0a+b+c=04a-2b+c=6​，
解得：a=-1b=-3c=4​，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-x2-3x+4；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：k+b=0-2k+b=6​，
解得：k=-2b=2​，
即直线BC的解析式为y=-2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE=AO2+OE2=25，CE=(-2-0)2+(6-2)2=25，
故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则-4k+b=0b=4​，
解得：k=1b=4​，
即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：y=x+4y=-2x+2​，
解得：x=-
23y=
103​，
即点F的坐标为（-23，103），
则BF=(-
23-1)2+(
103-0)2=5
53，
又∵AB=5，BC=(-2-1)2+(6-0)2=35，
∴BFAB=53，ABBC=53，
∴BFAB=ABBC，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 4

自己想想吧 数学要多想的 我就是的 平时思维不够 中考就挂了

Answer 5

(1)待定系数法，不细说。y=-x^2-3x+4.
(2)我用全等的方法解：过点C作CG⊥y轴于G，先用待定系数法求出BC的解析式，然后求出E的坐标（0,2），则CG=2=EO，GE=6-2=4=AO.直角=直角。则△CGE全等△EOA，则AE=CE。
（3）D(0,4)。AO=DO,∠DAO=45°，AB^2=AE^2+BE^2.∠AEB=90°由（2）可知∠ACB=45°=∠DAO.又∠ABC=∠ABC。所以相似

Answer 6

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