Question

高等数学，已知函数y=x（x-1）²（x+3）³，求y^(6)

Answer 1

高阶的莱布尼茨公式，形式就跟二项式定理一样，
（u*v）^（n）=u(n) + n*u(n-1)*v(1) + [n*(n-1)/2]*u(n-2)*v(2)+……+[n*(n-1)/2]*u(2)*v(n-2)+n*u(1)*v(n-1)+v(n) 其中u(n)是表示对u求n阶倒数，依此类推。
你会发现x（x-1）²（x+3）³ 最高此项为x^6，故只有上面公式中的u(n)不为0，也就是结果为对（x^6)求导6次，故结果为6！，即6*5*4*3*2*1

Answer 2

多项式乘积的高阶导有一个类似二项式展开定理的求导公式，叫什么我忘了，但总之用那个定理可以简单的快速地求出每一阶的答案
这里x展开的最高次是6次，那么答案应该是6! 也就是6的阶乘 也就是6*5*4*3*2*1...
为什么答案不一样 难道是我算错了？

追问

你这个才是真正答案，有没有过程啊，我想知道！！

追答

等我找到那个公式。。。
简单的说
y=x(x-1)²(x+3)³
=x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f a,b,c,d,e,f都是展开后的系数，暂不求
注意到 (x^m)'=mx^(m-1) 每求一次导 指数就减1
对于x^5以及x^4 x^3等指数小于5的x项，他们分别求完5次,4次,3次导后 x的指数就为0了，结果就是一个常数，再对常数多求一次导，就为0了，那对常数0求一次导还是0（当然，为0了后你认为这项消失了，不存在了，也行）
那么指数小于等于5的项经过6次导后都是0了。。。。。
对于x^6次 ，系数恰好是1（因为要达到6次，各项因式，也就是x,x-1,x+3中的x每次必须选中，而他们的系数都恰好是1，最后的系数就是1乘以1的2次乘以1的3次，那还是1啦）x^6求6次导，根据(x^m)'=mx^(m-1)得知每次的系数就是指数，指数再自减1，那么这个变化就是x^6 6x^5 6*5x^4 6*5*4x^3 6*5*4*3x^2 6*5*4*3*2x 6*5*4*3*2*1 就是6!啦

Answer 3

y=x(x-1)^2(x+3)^3
设y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g
则六阶导数后,后面全部变为0
所以y''''''=(ax^6)''''''
由于展开式中，x的6次方的系数是1，
所以:y^(6)=(x^6)''''''
(x^6)'=6x^5
(x^6)''=6*5*x^4
原式=6*5*4*3*2*1=30*6*4=180*4=720

Answer 4

x(x－1)(x＋3)展开式中，x的6次方的系数是1，则：
y^(6)=1

Answer 5

y=x（x-1）*2（x+3）*3
y*（y（6））=720