Question

如图,在△ABC中，∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你

如图,在△ABC中，∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。（要求：在AC上截取H，使AE=AH）

Answer 1

解：

FE=FD．
理由如下：方法一：在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
在△AEF和△AGF中， AG=AE ∠BAD=∠DAC ,AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=1 /2 ∠BAC，∠ECA=1 /2 ∠ACB，
∴∠DAC+∠ECA=1 /2 （∠BAC+∠ACB）=1 /2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠ECA=∠BCE，
在△CFG和△CFD中， ∠CFG=∠CFD FC=FC ∠ECA=∠BCE ，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

方法二
：过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=1 /2 ∠BAC，∠ECA=1 /2 ∠ACB，
∴∠DAC+∠ECA=1 /2 （∠BAC+∠ACB）=1 /2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠DAC+∠ECA=60°，
∴∠GEF=60°+∠BAD，
又∵∠HDF=∠B+∠BAD
=60°+∠BAD，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中， ∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH ，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

Answer 2

给一下思路方法吧，很易懂的
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．

追问

如图,在△ABC中，∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。（要求：在AC上截取H，使AE=AH）

追答

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠B=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）=180°-1/2（180°-∠ABC）=180°-1/2（180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFM=∠NFE
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．