Question

证明：当x->0时，函数1/xsin(1/x)是无界函数，而不是无穷大

Answer 1

首先证明无界

对任意的M>0,总存在k,满足 2kπ+π/2>M,取x0=1/(2kπ+π/2)

则|f(x0)|=|（2kπ+π/2）sin[1/)|2kπ+π/2）]|=2kπ+π/2>M,所以无界

下面证明不是无穷大

存在M=1,对任意的δ>0,总存在k,满足1/2kπ

无限符号的等式

在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞×1。

某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。 符号为+∞，同理负无穷的符号是-∞。

Answer 2

首先证明无界。
对任意的M>0，总存在k,满足 2kπ+π/2>M,取x0=1/(2kπ+π/2),
则|f(x0)|=|（2kπ+π/2）sin[1/)|2kπ+π/2）]|=2kπ+π/2>M，所以无界。
下面证明不是无穷大。
存在M=1，对任意的δ>0，总存在k,满足1/2kπ<δ,取x0=1/2kπ
则|f(x0)|=|2kπsin2kπ|=0<1=M
所以不是无穷大。

Answer 3

证：取两数列{xn}和{yn}，其中xn=1/(π/2+2nπ),yn=1/(nπ).
则当n->∞时，xn->0.当n->∞时，yn->0.
所以1/xn*sin(1/xn)=(π/2+2nπ)sin(π/2+2nπ)=π/2+2nπ
1/yn*sin(1/yn)=nπ*sin(nπ)=0
当n->∞时，xn->+∞,yn=0
所以函数1/xsin(1/x)是无界函数，但不是无穷大。