Question

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令S＝｛2，16，128，1024，8192，65536｝，若从S中任取四个数来，证明其中必有两个数的乘积为131072

Answer 1

131072=2的17次方，2=2的1次方，16=2的4次方，128=2的7次方，1024=2的10次方，8192=2的13次方，65536=2的16次方。其中2*65536=16*8192=131072，因此根据抽屉原则原理，任取2与65536中的一个数，16与8192中的一个数，以及1024，这三个数中任意两个数相乘都不会等于131072.第四个数随便取剩下两个数中的哪一个都会有两个数相乘等于131072.

Answer 2

S={2,2^4,2^7,2^10,2^13,2^16}
131072=2^17

就相当于S`={1,4,7,10,13,16}任取4个数，必有两数和为17。
S`中，1+16=17,4+13=17,10+7=17.任意去掉两个最多使2个等式不成立，所以必然有两数和为17.

Answer 3

S＝｛2，16，128，1024，8192，65536｝，
2=2^1
16=2^4
128=2^7
1024=2^10
8192=2^13
65536=2^16
131072=2^17
17有13+4、10+7、16+1的不同组合，从三种组合分别取一个数，第四个数在另外三个数中取，必定有2个相加为17。
所以，如果从S中任取四个数来，必有两个数的乘积为131072

Answer 4

反证法：假设从S中任取四个数，其中任意两个数的乘积都不为131072。显然，2*65536=16*8192=128*1024=131072。显然不管怎么取，都必然会有乘积为131072的2个数存在。假设不成立。即原命题成立。

Answer 5

可将S分为三组积为131072的（2，65536）（16,8192）（128,1024）
取出四个数时，必定有两个数在同一组中，所以其中必有两个数的乘积为131072