Question

三条直线X+Y-9=0，X+2Y=0，3X-Y-7=0围成一个三角形，求该三角形的外接圆的方程 解题过程

Answer 1

有两种方法：
（1）直接计算点坐标，然后求半径：
解得三角形的三个顶点为 A(18，-9)、B(2，-1)、C(4，5)，
设圆心为 P(x，y)
则 半径r=PA=PB=PC，PA²=PB²=PC²
即 (x-18)²+(y+9)²=(x-2)²+(y+1)²=(x-4)²+(y-5)²
整理得 2x-y=25，x+3y=9
所以 x=12，y=-1
且 r²=PA²=(x-18)²+(y+9)²=100
所以外接圆的方程为 (x-12)²+(y+1)²=100
（2）曲线系方法：
该圆的方程应为 (x+y-9)(x+2y)+a(x+2y)(3x-y-7)+b(3x-y-7)(x+y-9)=0
其中a、b为待定系数。
整理得
(1+3a+3b)x²+(3+5a+2b)xy+(2-2a-b)y²+(-9-7a-34b)x+(-18-14a+2b)y+63b=0
要使上式为圆方程，则应使 x² 项与 y² 项的系数相等，且 xy 项的系数为0，则
1+3a+3b=2-2a-b
3+5a+2b=0
解得
a=-7/5，b=2
所以该圆的方程为
(14/5)x²+(14/5)y²-(336/5)x+(28/5)y+126=0
即
x²+y²-24x+2y+45=0
即
(x-12)²+(y+1)²=100。