Question

函数f（x)在D内单调递增或单调递减2，如果存在区间[a,b]包含D，使函数f（x）在区间

函数f（x)在D内单调递增或单调递减2，如果存在区间[a,b]包含D，使函数f（x）在区间[a,b]上的值域为[a,b]，那么称y=f（x），x属于D为比闭函数
（1）判断函数f（x)=1+x-x^2(x属于（0，+∞）是否为闭函数？并说明理由
（2）求证，函数y=-x^3（x属于[-1，1]﹚为闭函数
（3）若y=k+根号x（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围

Answer 1

你题目写错了，如果存在区间[a,b]包含D------应该是存在区间[a,b]包含于D
1)
不是闭函数。f(x)=1+x-x^2=-(x-1/2)^2+5/4，在定义域(0,inf)上
当x∈(0,1/2]时，函数是增函数；当x∈[1/2,inf)时，函数是减函数
说明函数在定义域内既不单调递增，也不单调递减，故不是闭函数
2)
y=-x^3，y'=-3x^2，在x∈(-1,0)和x∈(0,1)上，f'(x)<0
当x=0时，f'(x)=0，但可进一步判断：因为在x=0的两侧邻域内
f'(x)恒为负值，故函数在x=0处没有极值，故函数在定义域内是减函数
故函数的最小值：fmin=f(1)=-1，函数的最大值：fmax=f(-1)=1
所以函数的值域是：[-1,1]，说明函数在x∈[-1,1]时是闭函数
3)
因函数是闭函数，故y=k+sqrt(x)在定义域内单调递增，且x=k+sqrt(x)有2个实根
方程x=k+sqrt(x)化为：k=x-sqrt(x)，令t=sqrt(x)，t≥0，
则：k=t^2-t=(t-1/2)^2-1/4，令g(t)=(t-1/2)^2-1/4，则在t∈[0,1/2]时，g(t)是减函数
在t∈[1/2,inf)时，g(t)是增函数，g(0)=0，g(1/2)=-1/4
所以当-1/4<k≤0时，k=t^2-t有2个实根，所以k的范围：(-1/4,0]