Question

关于函数极限的柯西收敛准则的证明问题

lim(x->+∞)f(x)存在的充要条件是，对任意的ε>0,存在X>0,当x1,x2>X时,恒有|f(x1)-f(x2)|<ε

在证明充分性时，可以这样证吗?请说明理由
令x2=X+1,对任意的ε>0,存在X,当x>X时,|f(x)-f(X+1)|<ε
则lim(x->+∞)f(x)=f(X+1)
如果不能这么证明，那该怎么证明呢？

Answer 1

不行X是根据ε定的
可以认识是ε 的函数X(ε)
所以你这里任意的ε 那么x2=X(ε)+1不是一个定值
所以怎么能取极限呀？？

Answer 2

不可以
因为X是ε的函数，随着ε的变化，X的值也随之变化。这样f（X+1）便不是一个常数，所以不能证明lim(x->+∞)f(x)存在。